Espacio Vectorial « mbravoalgebra

Un espacio vectorial sobre un cuerpo (como el cuerpo de los números reales o los números complejos) es un conjunto no vacío, dotado de dos operaciones: Los elementos: se llaman vectores. Los elementos: se llaman escalares. Con la operación interna tal que: 1) tenga la propiedad conmutativa, es decir 2) tenga la propiedad asociativa, es decir 3) tenga elemento neutro 0, es decir 4) tenga elemento opuesto, es decir y la operación producto por un escalar: operación externa tal que: 5) tenga la propiedad: 6) tenga elemento neutro 1: Que tenga la propiedad distributiva: 7) distributiva por la izquierda: 8) distributiva por la derecha: APLICACIONES LINEALES Sea Vk y Wk espacios vectoriales sobre el mismo cuerpo, una aplicación f: V W se llama aplicación lineal si : •" u, v V y , K f( u + v ) = f( u ) + f(v) (se puede generalizar a cualquier nº de sumandos) •en dos partes: •f( u+ v ) = f(u) + f(v) •f( u ) = f(u) NOTAS F ( 0v) = 0w porque en particular Tb. es un homomorfismo de grupos F( - u ) = - f( u ) por lo mismo Si V = W entonces se trata de un endomorfismo Sea { u1,...,up } vectores LD en V : ◦entonces { f(u1),..., f(up) } son LD en W Sea f: V W y g: W U aplicaciones lineales : ◦g o f : V U también es una aplicación lineal Las aplicaciones lineales no conservan la independencia de vectores APLICACIONES DESTACADAS ◦nula : 0: V W " u V 0(u)= 0w ◦identidad : i : U W " u U i(u) = u NÚCLEO E IMAGEN Sea f: V W una aplicación lineal: ◦f(V) = Im(f) es subespacio vectorial de W ◦si { u1,...,up} generan V , entonces: {f(u1),...,f(up) } son también generadores de Im(f) , pero no de W. Llamamos rango de f (rang(f)), a la dimensión de la Im(f), es decir Al rang ( f(u1),...,f(up) ) ◦el conjunto f -1{ ( 0w)} = { u V / f(u) = 0w } = Ker (f) es un subespacio vectorial de V, que llamamos núcleo de la aplicación lineal. ◦Si V es un espacio vectorial de dim finita, dim(V) = dim ( Ker(f)) + dim(Im (f)) PROPIEDADES DE UNA APLICACIÓN INYECTIVA ◦Sea f: V W aplicación lineal, f es inyectiva sí y sólo si: •si Ker f = { 0 v } •si los espacios V y W son de dim finita, se verifica que f es inyectiva sí y sólo sí: •dim V = dim ( Im (f)) ! la imagen de una base de V es una base de Im(f) ( NO DE W) , es decir, un conjunto de vectores LI de W PROPOSICIÓN •la composición de isomorfismos, es un isomorfismo •f: V W aplicación lineal es isomorfismo ! Ker f = { 0v } e Im(f)= W •si dim V es finita f: V W aplicación lineal entonces f es isomorfismo ! f es inyectiva ! f es sobreyectiva •si f :V W es isomorfismo entonces , f -1 : W V es también isomorfismo •dos espacios vectoriales sobre K con dim finita son isomorfos ! tienen la misma dim MATRIZ ASOCIADA A UNA APLICACIÓN LINEAL Sean V y W espacios vectoriales, sea B base de V , B = { e1,...,en} y { w1,...,wn} conjunto de vectores de V , entonces : •existe una única f: V W aplicación lineal / f(e1) = w1...y f(en) = wn con esta proposición vemos que si V tiene dim finita, una aplicación lineal queda totalmente definida si se conocen las imágenes de los elementos de una base de V Sea V un espacio vectorial, y B = { e1,..., en} base deV, para cada vector x de V tenemos M B x = x1 , x = x1 e1 + ...+ xnen X2 Xn Sea f aplicación lineal f: Vn Wm , supongamos B' = { u1,..., un} base de W, sabíamos que para conocer f bastaba conocer las imágenes de V, para ello bastará saber su CL con respecto a la base B' de W F(e1) = w1 = a11.u1 + a21.u2 + ...+am1.um F(e2) = w2 = a21.u1 + a22.u2 + ...+am2.um F(en) = wn = a1n.u1 + .... +amn.um Si x tiene por coordenadas en la base B (x1,...,xn) , f(x) tiene por coordenadas en B' ( y1,...,yn ) donde: Y1 = a11.x1 + a12.x2 + ...+ a1n.xn Y2 = a21.x1 + a22.x2 + ...+ a2n.xn Ym = am1.x1 + ...... + amn.xn x1 y1 X2 y2 A m x n . = Xn yn A A le llamamos asociada a la aplicación lineal respecto a las bases B y B', entonces tenemos que : •MB' ( f(x) ) = A BB' . M B (x) es la expresión matricial del sistema •La matriz A es única fijadas las bases B y B', pues cada columna j de A son las coordenadas de la imagen del primer vector de la base en B', las coordenadas eran únicas en cada base: A = M BB' (f) •Recíprocamente, dada una matriz A m x n cualquiera A m x n = ( a i j) queda determinada una aplicación lineal fijadas las bases, por lo tanto tenemos el isomorfismo siguiente: ( V n, W m ) M m x n ( K) f M (f) Sea f: V W aplicación lineal dim finita, y sea A la matriz asociada a f respecto unas bases, se verifica que : •El rango de f coincide con rango (A) •Suponemos dim V = dim W, entonces f es isomorfismo ! A es inversible Sea f: V W aplicación lineal , Bv, B'v bases de V y Bw, B'w bases de W. Llamamos A = M B v B w (f) , A' = M B'v B'w (f) , P = M B'v B v Q = M B'w B w se verifica que : •A' = Q -1. A. P Dos matrices A y A' de igual tamaño ( mxn ) se dicen que son equivalentes si : •existen dos matrices inversibles P, Q tal que A' = Q -1.A. P , es decir , si están asociadas a una misma aplicación lineal de K n K m. •Dicho de otra forma , A y A' representan la misma aplicación lineal pero en distintas bases ( Tb. Se llaman matrices semejantes) Sean f: V W y g : W U aplicaciones lineales y A = M B v B w (f) y B = M B w B u (g) entonces se verifica que : •Si g o f : V U entonces M B v B u ( g o f) = B . A Sea f una aplicación lineal sobre el mismo cuerpo f: V W; b W, f-1( b) = { v " V / f(v) = b } se verifica que : •Si b " Im f , entonces f -1 (b) = •Si b Im f , es decir, " vo V tal que f(vo) = b , entonces •f-1 ( b)= vo + Ker f = { vo + u / u Ker f } TEOREMA DE ROUCHE- FROBENIUS Sea A X = B un sistema de ecuaciones lineales con m ecuaciones y n incógnitas, A M m x n (K), B M mx1 (K) , X M mx1( K) se verifica que : •el sistema tiene solución ! rango (A) = rango( AB) y además la solución es única ! rango (A) = rango ( AB) = n •si el S es Compatible entonces el conjunto {soluciones del sistema A X = B } = xo + { soluciones de A X = 0 } •donde xo es solución particular de A X =B , •{ soluciones de A X = 0 } es el núcleo de la aplicación cuya matriz es A, (que es un espacio vectorial con dimensión n-r, donde n = dim V y r = dim ( Im f) )

emilis ravelo 14 may 2011 - 07:39 PM

Definicion:
Un espacio vectorial es una estructura matemática creada a partir de un conjunto no vacío con una operación suma interna al conjunto y una operación producto externa entre dicho conjunto y un cuerpo, cumpliendo una serie de propiedades o requisitos iniciales. A los elementos de un espacio vectorial se les llamará vectores y a los elementos del cuerpo se les llamará escalares.
IMPORTANCIA

Es importante el estudio de los espacios vectoriales ya que es un pilar básico de la formación técnica esencial de estudiantes de ciencias e ingeniería. Como parte del álgebra que principia el estudio formal de un amplio espectro de teorías de la matemática, y que, con natural reciprocidad, es el fruto de un proceso de abstracción que bien puede comenzar desde cualquiera de ellas (la geometría, los conjuntos numéricos, las funciones, los sistemas de ecuaciones, el cálculo numérico, y un interminable etcétera). Los espacios vectoriales conllevan una aplicación multidisciplinar que motiva la necesidad de su correcto entendimiento, no sólo como parte del lenguaje matemático empleado para el desarrollo de estos estudios, sino también en sí mismos como herramienta de trabajo y soporte. Por esta consabida importancia, unida a la realidad educativa que nos rodea, de enorme diversificación curricular
APLICACIONES:

Los espacios vectoriales conllevan una aplicación multidisciplinar que motiva la necesidad de su correcto entendimiento, no sólo como parte del lenguaje matemático empleado para el desarrollo de estos estudios, sino también en sí mismos como herramienta de trabajo y soporte.
Este campo nos permite estudiar un punto u objeto en todas sus dimensiones. por lo que es una herramienta de suma importancia para la aquitectura, topografia, la fisica,etc.

adrian castillo seccion:004 CI:21587165 15 may 2011 - 12:30 AM

Un espacio vectorial es una estructura matemática creada a partir de un conjunto no vacío con una operación suma interna al conjunto y una operación producto externa entre dicho conjunto y un cuerpo, cumpliendo una serie de propiedades o requisitos iniciales. A los elementos de un espacio vectorial se les llamará vectores y a los elementos del cuerpo se les llamará escalares. Históricamente, las primeras ideas que condujeron a los espacios vectoriales modernos se remontan al siglo XVII: geometría analítica, matrices y sistemas de ecuaciones lineales. La primera formulación moderna y axiomática se debe a Giuseppe Peano, a finales del siglo XIX. Los siguientes avances en la teoría de espacios vectoriales provienen del análisis funcional, principalmente de los espacios de funciones. Los problemas de Análisis funcional requerían resolver problemas sobre la convergencia. Esto se hizo dotando a los espacios vectoriales de una adecuada topología, permitiendo tener en cuenta cuestiones de proximidad y continuidad. Estos espacios vectoriales topológicos, en particular los espacios de Banach y los espacios de Hilbert tienen una teoría más rica y elaborada. Los espacios vectoriales tienen aplicaciones en otras ramas de la matemática, la ciencia y la ingeniería. Se utilizan en métodos como las series de Fourier, que se utiliza en las rutinas modernas de compresión de imágenes y sonido, o proporcionan el marco para resolver ecuaciones en derivadas parciales. Además, los espacios vectoriales proporcionan una forma abstracta libre de coordenadas de tratar con objetos geométricos y físicos, tales como tensores, que a su vez permiten estudiar las propiedades locales de variedades mediante técnicas de linealización.

annahelys losada eccion:004 15 may 2011 - 12:38 AM

annahelys losada
CI:20953386
carrera:ing. petroquimica
seccion:004

GRAcias profe.

Serwuin Torres 15 may 2011 - 01:47 PM

Serwuin torres C.I 24771562 ing. petroquimica 004-D

JOSE RANGEL C.I.: 21.242.745 15 may 2011 - 05:04 PM

Ing. Petroquimica Seccion: I-002-D definicion Un espacio vectorial es una estructura matemática creada a partir de un conjunto no vacío con una operación suma interna al conjunto y una operación producto externa entre dicho conjunto y un cuerpo, cumpliendo una serie de propiedades o requisitos iniciales. A los elementos de un espacio vectorial se les llamará vectores y a los elementos del cuerpo se les llamará escalares. importancia Es importante el estudio de los espacios vectoriales ya que es un pilar básico de la formación técnica esencial de estudiantes de ciencias e ingeniería. Como parte del álgebra que principia el estudio formal de un amplio espectro de teorías de la matemática, y que, con natural reciprocidad, es el fruto de un proceso de abstracción que bien puede comenzar desde cualquiera de ellas (la geometría, los conjuntos numéricos, las funciones, los sistemas de ecuaciones, el cálculo numérico, y un interminable etcétera). Los espacios vectoriales conllevan una aplicación multidisciplinar que motiva la necesidad de su correcto entendimiento, no sólo como parte del lenguaje matemático empleado para el desarrollo de estos estudios, sino también en sí mismos como herramienta de trabajo y soporte. Por esta consabida importancia, unida a la realidad educativa que nos rodea, de enorme diversificación curricular aplicaciones Tipos de aplicaciones lineales *Monomorfismo: cuando f es inyectiva (imagen de uno o ninguno) *Epimorfismo: cuando f es suprayectiva (coinciden final e imagen) *Isomorfismo: cuando es biyectiva (inyectiva y suprayectiva) *Endomorfismo: cuando V = V' *Automorfismo: cuando V = V' y es biyectiva.

xavier Martinez C.I: 20.588.768 Seccion 002 15 may 2011 - 06:53 PM

Definicion:
Un espacio vectorial es una estructura matemática creada a partir de un conjunto no vacío con una operación suma interna al conjunto y una operación producto externa entre dicho conjunto y un cuerpo, cumpliendo una serie de propiedades o requisitos iniciales. A los elementos de un espacio vectorial se les llamará vectores y a los elementos del cuerpo se les llamará escalares.
IMPORTANCIA

Es importante el estudio de los espacios vectoriales ya que es un pilar básico de la formación técnica esencial de estudiantes de ciencias e ingeniería. Como parte del álgebra que principia el estudio formal de un amplio espectro de teorías de la matemática, y que, con natural reciprocidad, es el fruto de un proceso de abstracción que bien puede comenzar desde cualquiera de ellas (la geometría, los conjuntos numéricos, las funciones, los sistemas de ecuaciones, el cálculo numérico, y un interminable etcétera). Los espacios vectoriales conllevan una aplicación multidisciplinar que motiva la necesidad de su correcto entendimiento, no sólo como parte del lenguaje matemático empleado para el desarrollo de estos estudios, sino también en sí mismos como herramienta de trabajo y soporte. Por esta consabida importancia, unida a la realidad educativa que nos rodea, de enorme diversificación curricular
APLICACIONES:

Los espacios vectoriales conllevan una aplicación multidisciplinar que motiva la necesidad de su correcto entendimiento, no sólo como parte del lenguaje matemático empleado para el desarrollo de estos estudios, sino también en sí mismos como herramienta de trabajo y soporte.
Este campo nos permite estudiar un punto u objeto en todas sus dimensiones. por lo que es una herramienta de suma importancia para la aquitectura, topografia, la fisica,etc.

Ennys jose Ysea C.I: 22.740.042 Seccion 004 15 may 2011 - 06:54 PM

Un espacio vectorial es una estructura matemática creada a partir de un conjunto no vacío con una operación suma interna al conjunto y una operación producto externa entre dicho conjunto y un cuerpo, cumpliendo una serie de propiedades o requisitos iniciales. A los elementos de un espacio vectorial se les llamará vectores y a los elementos del cuerpo se les llamará escalares. importancia Es importante el estudio de los espacios vectoriales ya que es un pilar básico de la formación técnica esencial de estudiantes de ciencias e ingeniería. Como parte del álgebra que principia el estudio formal de un amplio espectro de teorías de la matemática, y que, con natural reciprocidad, es el fruto de un proceso de abstracción que bien puede comenzar desde cualquiera de ellas (la geometría, los conjuntos numéricos, las funciones, los sistemas de ecuaciones, el cálculo numérico, y un interminable etcétera). Los espacios vectoriales conllevan una aplicación multidisciplinar que motiva la necesidad de su correcto entendimiento, no sólo como parte del lenguaje matemático empleado para el desarrollo de estos estudios, sino también en sí mismos como herramienta de trabajo y soporte. Por esta consabida importancia, unida a la realidad educativa que nos rodea, de enorme diversificación curricular aplicaciones Tipos de aplicaciones lineales *Monomorfismo: cuando f es inyectiva (imagen de uno o ninguno) *Epimorfismo: cuando f es suprayectiva (coinciden final e imagen) *Isomorfismo: cuando es biyectiva (inyectiva y suprayectiva) *Endomorfismo: cuando V = V' *Automorfismo: cuando V = V' y es biyectiva.

wolmerlys nuñez 15 may 2011 - 11:57 PM

SECCION 004 C.I 20387328
DEFINICION
Espacio vectorial Es un conjunto V , cuyos elementos se denotan mediante u, v, w, ..., se dice que es un espacio vectorial sobre el cuerpo K (si K es R se dice que es un espacio vectorial real y si K es C se dice que es un espacio vectorial complejo), si en él se han definido dos operaciones: la suma, +, como operación interna, de manera que a cada par de elementos u y v de V se le hace corresponder el elemento u+ v de V, y la multiplicación por escalares como operación externa, de manera que a todo elemento u ∈ V y a todo elemento a ∈ K le hace corresponder el elemento a • u ∈ V, que satisfacen las siguientes propiedades: (S1) (Conmutativa) u + v = v + u para todo u, v de V . (S2) (Asociativa) u + ( v + w) = ( u + v) + w para todo u, v, w de V . (S3) Existe un elemento de V, designado por 0 y denominado neutro, tal que u+ 0 = u para todo u de V . (S4) Para todo u de V existe un elemento, designado por − u y denominado opuesto de u, tal que u + (− u) = 0. (M1) 1 • u = u para todo u de V , donde 1 denota el elemento unidad de K. (M2) (Seudoasociativa) a (b u) = (ab) u para todo u de V y todo a, b de K. (M3) (Distributiva respecto a la suma de escalares) (a + b) u = a u + b u para todo u de V y todo a, b de K. (M4) (Distributiva respecto a la suma de vectores) a ( u + v) = a u + a v para todo u, v de V y todo a de K. Cualquier conjunto Rn tiene estructura de espacio vectorial sobre el cuerpo de escalares R. No sólo los Rn tienen estructura de espacio vectorial, también la tiene el conjunto de matrices Mn×m, el conjunto de polinomios de grado menor o igual que n, el conjunto de funciones continuas en el intervalo [a, b].... A partir de ahora nos centraresmos en espacios vectoriales sobre el cuerpo de los números reales, K = R. 3.2.1 Propiedades de los espacios vectoriales Si V es un espacio vectorial, se verifica que: 1. Si u, v y w son elementos de V tales que u + w = v + w entonces u = v. 2. Si 0 es el elemento neutro de V y λ ∈ R entonces λ • 0 = 0. 3. Si v ∈ V entonces 0 • v = 0. 4. Si v ∈ V entonces −1 • v = − v que es el elemento opuesto de v. 5. Si v ∈ V y λ ∈ R tales que λ • v = 0 entonces o bien λ = 0 o bien v = 0.
IMPORTANCIA
Es importante el estudio de los espacios vectoriales ya que es un pilar básico de la formación técnica esencial de estudiantes de ciencias e ingeniería. Como parte del álgebra que principia el estudio formal de un amplio espectro de teorías de la matemática, y que, con natural reciprocidad, es el fruto de un proceso de abstracción que bien puede comenzar desde cualquiera de ellas (la geometría, los conjuntos numéricos, las funciones, los sistemas de ecuaciones, el cálculo numérico, y un interminable etcétera). Los espacios vectoriales conllevan una aplicación multidisciplinar que motiva la necesidad de su correcto entendimiento, no sólo como parte del lenguaje matemático empleado para el desarrollo de estos estudios, sino también en sí mismos como herramienta de trabajo y soporte. Por esta consabida importancia, unida a la realidad educativa que nos rodea, de enorme diversificación curricular
APLICACIONES DEL ESPACIO VECTORIAL
Aplicación lineal
La aplicación f establecida entre V y V' es una aplicación lineal u homomorfismo si verifica " " R y " u v " V:
*f (u + v) = f(u) + f(v)
*f ( u) = f(u)
Tipos de aplicaciones lineales
*Monomorfismo: cuando f es inyectiva (imagen de uno o ninguno)
*Epimorfismo: cuando f es suprayectiva (coinciden final e imagen)
*Isomorfismo: cuando es biyectiva (inyectiva y suprayectiva)
*Endomorfismo: cuando V = V'
*Automorfismo: cuando V = V' y es biyectiva.
Núcleo e imagen de una aplicación lineal
Dada la aplicación lineal f establecida entre V y V', llamamos núcleo de f -Ker(f)- al conjunto formado por aquellos elementos de V que tienen como imagen el vector 0 de V'
Llamamos conjunto imagen de f al conjunto de vectores de V' que son imagen de algún vector de V
Teoremas relativos a aplicaciones lineales
*Para que la aplicación lineal f establecida entre los espacios vectoriales sea aplicación lineal basta con que se verifique:
" , " R y " u,v " V f( u+ v) = f(u) + f(v)
*f(0) = 0
*El núcleo y la imagen de una aplicación lineal son subespacios vectoriales respectivamente de los conjuntos inicial y final. A la dimensión del conjunto imagen se le llama rango de la aplicación lineal.
*Dada la aplicación lineal f establecida entre los espacios vectoriales V y V', si el conjunto S={u1, u2,…,un} es sistema generador de V, el conjunto S'={ f(u1), f(u2),…,f(un)}es sistema generador del conjunto image

Argeli Manosalva 12932629 I002D 16 may 2011 - 04:38 AM

gracias!!!

Argeli Manosalva 12932629 I002D 16 may 2011 - 04:51 AM

Un espacio vectorial sobre un cuerpo (como el cuerpo de los números reales o los números complejos) es un conjunto no vacío, dotado de dos operaciones: Los elementos: se llaman vectores. Los elementos: se llaman escalares. Con la operación interna tal que: 1) tenga la propiedad conmutativa, es decir 2) tenga la propiedad asociativa, es decir 3) tenga elemento neutro 0, es decir 4) tenga elemento opuesto, es decir y la operación producto por un escalar: operación externa tal que: 5) tenga la propiedad: 6) tenga elemento neutro 1: Que tenga la propiedad distributiva: 7) distributiva por la izquierda: 8) distributiva por la derecha: APLICACIONES LINEALES Sea Vk y Wk espacios vectoriales sobre el mismo cuerpo, una aplicación f: V W se llama aplicación lineal si : •" u, v V y , K f( u + v ) = f( u ) + f(v) (se puede generalizar a cualquier nº de sumandos) •en dos partes: •f( u+ v ) = f(u) + f(v) •f( u ) = f(u) NOTAS F ( 0v) = 0w porque en particular Tb. es un homomorfismo de grupos F( - u ) = - f( u ) por lo mismo Si V = W entonces se trata de un endomorfismo Sea { u1,...,up } vectores LD en V : ◦entonces { f(u1),..., f(up) } son LD en W Sea f: V W y g: W U aplicaciones lineales : ◦g o f : V U también es una aplicación lineal Las aplicaciones lineales no conservan la independencia de vectores APLICACIONES DESTACADAS ◦nula : 0: V W " u V 0(u)= 0w ◦identidad : i : U W " u U i(u) = u NÚCLEO E IMAGEN Sea f: V W una aplicación lineal: ◦f(V) = Im(f) es subespacio vectorial de W ◦si { u1,...,up} generan V , entonces: {f(u1),...,f(up) } son también generadores de Im(f) , pero no de W. Llamamos rango de f (rang(f)), a la dimensión de la Im(f), es decir Al rang ( f(u1),...,f(up) ) ◦el conjunto f -1{ ( 0w)} = { u V / f(u) = 0w } = Ker (f) es un subespacio vectorial de V, que llamamos núcleo de la aplicación lineal. ◦Si V es un espacio vectorial de dim finita, dim(V) = dim ( Ker(f)) + dim(Im (f)) PROPIEDADES DE UNA APLICACIÓN INYECTIVA ◦Sea f: V W aplicación lineal, f es inyectiva sí y sólo si: •si Ker f = { 0 v } •si los espacios V y W son de dim finita, se verifica que f es inyectiva sí y sólo sí: •dim V = dim ( Im (f)) ! la imagen de una base de V es una base de Im(f) ( NO DE W) , es decir, un conjunto de vectores LI de W PROPOSICIÓN •la composición de isomorfismos, es un isomorfismo •f: V W aplicación lineal es isomorfismo ! Ker f = { 0v } e Im(f)= W •si dim V es finita f: V W aplicación lineal entonces f es isomorfismo ! f es inyectiva ! f es sobreyectiva •si f :V W es isomorfismo entonces , f -1 : W V es también isomorfismo •dos espacios vectoriales sobre K con dim finita son isomorfos ! tienen la misma dim MATRIZ ASOCIADA A UNA APLICACIÓN LINEAL Sean V y W espacios vectoriales, sea B base de V , B = { e1,...,en} y { w1,...,wn} conjunto de vectores de V , entonces : •existe una única f: V W aplicación lineal / f(e1) = w1...y f(en) = wn con esta proposición vemos que si V tiene dim finita, una aplicación lineal queda totalmente definida si se conocen las imágenes de los elementos de una base de V Sea V un espacio vectorial, y B = { e1,..., en} base deV, para cada vector x de V tenemos M B x = x1 , x = x1 e1 + ...+ xnen X2 Xn Sea f aplicación lineal f: Vn Wm , supongamos B' = { u1,..., un} base de W, sabíamos que para conocer f bastaba conocer las imágenes de V, para ello bastará saber su CL con respecto a la base B' de W F(e1) = w1 = a11.u1 + a21.u2 + ...+am1.um F(e2) = w2 = a21.u1 + a22.u2 + ...+am2.um F(en) = wn = a1n.u1 + .... +amn.um Si x tiene por coordenadas en la base B (x1,...,xn) , f(x) tiene por coordenadas en B' ( y1,...,yn ) donde: Y1 = a11.x1 + a12.x2 + ...+ a1n.xn Y2 = a21.x1 + a22.x2 + ...+ a2n.xn Ym = am1.x1 + ...... + amn.xn x1 y1 X2 y2 A m x n . = Xn yn A A le llamamos asociada a la aplicación lineal respecto a las bases B y B', entonces tenemos que : •MB' ( f(x) ) = A BB' . M B (x) es la expresión matricial del sistema •La matriz A es única fijadas las bases B y B', pues cada columna j de A son las coordenadas de la imagen del primer vector de la base en B', las coordenadas eran únicas en cada base: A = M BB' (f) •Recíprocamente, dada una matriz A m x n cualquiera A m x n = ( a i j) queda determinada una aplicación lineal fijadas las bases, por lo tanto tenemos el isomorfismo siguiente: ( V n, W m ) M m x n ( K) f M (f) Sea f: V W aplicación lineal dim finita, y sea A la matriz asociada a f respecto unas bases, se verifica que : •El rango de f coincide con rango (A) •Suponemos dim V = dim W, entonces f es isomorfismo ! A es inversible Sea f: V W aplicación lineal , Bv, B'v bases de V y Bw, B'w bases de W. Llamamos A = M B v B w (f) , A' = M B'v B'w (f) , P = M B'v B v Q = M B'w B w se verifica que : •A' = Q -1. A. P Dos matrices A y A' de igual tamaño ( mxn ) se dicen que son equivalentes si : •existen dos matrices inversibles P, Q tal que A' = Q -1.A. P , es decir , si están asociadas a una misma aplicación lineal de K n K m. •Dicho de otra forma , A y A' representan la misma aplicación lineal pero en distintas bases ( Tb. Se llaman matrices semejantes) Sean f: V W y g : W U aplicaciones lineales y A = M B v B w (f) y B = M B w B u (g) entonces se verifica que : •Si g o f : V U entonces M B v B u ( g o f) = B . A Sea f una aplicación lineal sobre el mismo cuerpo f: V W; b W, f-1( b) = { v " V / f(v) = b } se verifica que : •Si b " Im f , entonces f -1 (b) = •Si b Im f , es decir, " vo V tal que f(vo) = b , entonces •f-1 ( b)= vo + Ker f = { vo + u / u Ker f } TEOREMA DE ROUCHE- FROBENIUS Sea A X = B un sistema de ecuaciones lineales con m ecuaciones y n incógnitas, A M m x n (K), B M mx1 (K) , X M mx1( K) se verifica que : •el sistema tiene solución ! rango (A) = rango( AB) y además la solución es única ! rango (A) = rango ( AB) = n •si el S es Compatible entonces el conjunto {soluciones del sistema A X = B } = xo + { soluciones de A X = 0 } •donde xo es solución particular de A X =B , •{ soluciones de A X = 0 } es el núcleo de la aplicación cuya matriz es A, (que es un espacio vectorial con dimensión n-r, donde n = dim V y r = dim ( Im f) )

Ana Sánchez 16 may 2011 - 10:33 PM

Ana Sánchez 21459097
Ing. Petroquimica sección I-004-D

Alex Rivas 16 may 2011 - 10:35 PM

Alex Rivas 18850018
Ing. petroquimica sección I-004-D
Un espacio vectorial es una estructura matemática creada a partir de un conjunto no vacío con una operación suma interna al conjunto y una operación producto externa entre dicho conjunto y un cuerpo, cumpliendo una serie de propiedades o requisitos iniciales. A los elementos de un espacio vectorial se les llamará vectores y a los elementos del cuerpo se les llamará escalares. Históricamente, las primeras ideas que condujeron a los espacios vectoriales modernos se remontan al siglo XVII: geometría analítica, matrices y sistemas de ecuaciones lineales. La primera formulación moderna y axiomática se debe a Giuseppe Peano, a finales del siglo XIX. Los siguientes avances en la teoría de espacios vectoriales provienen del análisis funcional, principalmente de los espacios de funciones. Los problemas de Análisis funcional requerían resolver problemas sobre la convergencia. Esto se hizo dotando a los espacios vectoriales de una adecuada topología, permitiendo tener en cuenta cuestiones de proximidad y continuidad. Estos espacios vectoriales topológicos, en particular los espacios de Banach y los espacios de Hilbert tienen una teoría más rica y elaborada. Los espacios vectoriales tienen aplicaciones en otras ramas de la matemática, la ciencia y la ingeniería. Se utilizan en métodos como las series de Fourier, que se utiliza en las rutinas modernas de compresión de imágenes y sonido, o proporcionan el marco para resolver ecuaciones en derivadas parciales. Además, los espacios vectoriales proporcionan una forma abstracta libre de coordenadas de tratar con objetos geométricos y físicos, tales como tensores, que a su vez permiten estudiar las propiedades locales de variedades mediante técnicas de linealización.

Ana Sánchez 16 may 2011 - 10:38 PM

C.I 21459097 Ing. petroquimica Sección I-004-D Un espacio vectorial es una estructura matemática creada a partir de un conjunto no vacío con una operación suma interna al conjunto y una operación producto externa entre dicho conjunto y un cuerpo, cumpliendo una serie de propiedades o requisitos iniciales. A los elementos de un espacio vectorial se les llamará vectores y a los elementos del cuerpo se les llamará escalares. Históricamente, las primeras ideas que condujeron a los espacios vectoriales modernos se remontan al siglo XVII: geometría analítica, matrices y sistemas de ecuaciones lineales. La primera formulación moderna y axiomática se debe a Giuseppe Peano, a finales del siglo XIX. Los siguientes avances en la teoría de espacios vectoriales provienen del análisis funcional, principalmente de los espacios de funciones. Los problemas de Análisis funcional requerían resolver problemas sobre la convergencia. Esto se hizo dotando a los espacios vectoriales de una adecuada topología, permitiendo tener en cuenta cuestiones de proximidad y continuidad. Estos espacios vectoriales topológicos, en particular los espacios de Banach y los espacios de Hilbert tienen una teoría más rica y elaborada. Los espacios vectoriales tienen aplicaciones en otras ramas de la matemática, la ciencia y la ingeniería. Se utilizan en métodos como las series de Fourier, que se utiliza en las rutinas modernas de compresión de imágenes y sonido, o proporcionan el marco para resolver ecuaciones en derivadas parciales. Además, los espacios vectoriales proporcionan una forma abstracta libre de coordenadas de tratar con objetos geométricos y físicos, tales como tensores, que a su vez permiten estudiar las propiedades locales de variedades mediante técnicas de linealización.

Jose Duran 16 may 2011 - 10:40 PM

C.I 20514017
Ing. Petroquimica Sección I-004-D
Un espacio vectorial es una estructura matemática creada a partir de un conjunto no vacío con una operación suma interna al conjunto y una operación producto externa entre dicho conjunto y un cuerpo, cumpliendo una serie de propiedades o requisitos iniciales. A los elementos de un espacio vectorial se les llamará vectores y a los elementos del cuerpo se les llamará escalares. Históricamente, las primeras ideas que condujeron a los espacios vectoriales modernos se remontan al siglo XVII: geometría analítica, matrices y sistemas de ecuaciones lineales. La primera formulación moderna y axiomática se debe a Giuseppe Peano, a finales del siglo XIX. Los siguientes avances en la teoría de espacios vectoriales provienen del análisis funcional, principalmente de los espacios de funciones. Los problemas de Análisis funcional requerían resolver problemas sobre la convergencia. Esto se hizo dotando a los espacios vectoriales de una adecuada topología, permitiendo tener en cuenta cuestiones de proximidad y continuidad. Estos espacios vectoriales topológicos, en particular los espacios de Banach y los espacios de Hilbert tienen una teoría más rica y elaborada. Los espacios vectoriales tienen aplicaciones en otras ramas de la matemática, la ciencia y la ingeniería. Se utilizan en métodos como las series de Fourier, que se utiliza en las rutinas modernas de compresión de imágenes y sonido, o proporcionan el marco para resolver ecuaciones en derivadas parciales. Además, los espacios vectoriales proporcionan una forma abstracta libre de coordenadas de tratar con objetos geométricos y físicos, tales como tensores, que a su vez permiten estudiar las propiedades locales de variedades mediante técnicas de linealización.

serwuin torres 004 16 may 2011 - 11:40 PM

Un espacio vectorial es una estructura matemática creada a partir de un conjunto no vacío con una operación suma interna al conjunto y una operación producto externa entre dicho conjunto y un cuerpo, cumpliendo una serie de propiedades o requisitos iniciales. A los elementos de un espacio vectorial se les llamará vectores y a los elementos del cuerpo se les llamará escalares. Históricamente, las primeras ideas que condujeron a los espacios vectoriales modernos se remontan al siglo XVII: geometría analítica, matrices y sistemas de ecuaciones lineales. La primera formulación moderna y axiomática se debe a Giuseppe Peano, a finales del siglo XIX. Los siguientes avances en la teoría de espacios vectoriales provienen del análisis funcional, principalmente de los espacios de funciones. Los problemas de Análisis funcional requerían resolver problemas sobre la convergencia. Esto se hizo dotando a los espacios vectoriales de una adecuada topología, permitiendo tener en cuenta cuestiones de proximidad y continuidad. Estos espacios vectoriales topológicos, en particular los espacios de Banach y los espacios de Hilbert tienen una teoría más rica y elaborada. Los espacios vectoriales tienen aplicaciones en otras ramas de la matemática, la ciencia y la ingeniería. Se utilizan en métodos como las series de Fourier, que se utiliza en las rutinas modernas de compresión de imágenes y sonido, o proporcionan el marco para resolver ecuaciones en derivadas parciales. Además, los espacios vectoriales proporcionan una forma abstracta libre de coordenadas de tratar con objetos geométricos y físicos, tales como tensores, que a su vez permiten estudiar las propiedades locales de variedades mediante técnicas de linealización.

jefferson aguirre 004 16 may 2011 - 11:42 PM

Un espacio vectorial es una estructura matemática creada a partir de un conjunto no vacío con una operación suma interna al conjunto y una operación producto externa entre dicho conjunto y un cuerpo, cumpliendo una serie de propiedades o requisitos iniciales. A los elementos de un espacio vectorial se les llamará vectores y a los elementos del cuerpo se les llamará escalares. Históricamente, las primeras ideas que condujeron a los espacios vectoriales modernos se remontan al siglo XVII: geometría analítica, matrices y sistemas de ecuaciones lineales. La primera formulación moderna y axiomática se debe a Giuseppe Peano, a finales del siglo XIX. Los siguientes avances en la teoría de espacios vectoriales provienen del análisis funcional, principalmente de los espacios de funciones. Los problemas de Análisis funcional requerían resolver problemas sobre la convergencia. Esto se hizo dotando a los espacios vectoriales de una adecuada topología, permitiendo tener en cuenta cuestiones de proximidad y continuidad. Estos espacios vectoriales topológicos, en particular los espacios de Banach y los espacios de Hilbert tienen una teoría más rica y elaborada. Los espacios vectoriales tienen aplicaciones en otras ramas de la matemática, la ciencia y la ingeniería. Se utilizan en métodos como las series de Fourier, que se utiliza en las rutinas modernas de compresión de imágenes y sonido, o proporcionan el marco para resolver ecuaciones en derivadas parciales. Además, los espacios vectoriales proporcionan una forma abstracta libre de coordenadas de tratar con objetos geométricos y físicos, tales como tensores, que a su vez permiten estudiar las propiedades locales de variedades mediante técnicas de linealización.

irene martinez 18 may 2011 - 01:27 AM

c.i 24911415 seccion 004d ing.petroquimica
presente prof

Un espacio vectorial es una estructura matemática creada a partir de un conjunto no vacío con una operación suma interna al conjunto y una operación producto externa entre dicho conjunto y un cuerpo, cumpliendo una serie de propiedades o requisitos iniciales. A los elementos de un espacio vectorial se les llamará vectores y a los elementos del cuerpo se les llamará escalares.

Históricamente, las primeras ideas que condujeron a los espacios vectoriales modernos se remontan al siglo XVII: geometría analítica, matrices y sistemas de ecuaciones lineales. La primera formulación moderna y axiomática se debe a Giuseppe Peano, a finales del siglo XIX. Los siguientes avances en la teoría de espacios vectoriales provienen del análisis funcional, principalmente de los espacios de funciones. Los problemas de Análisis funcional requerían resolver problemas sobre la convergencia. Esto se hizo dotando a los espacios vectoriales de una adecuada topología, permitiendo tener en cuenta cuestiones de proximidad y continuidad. Estos espacios vectoriales topológicos, en particular los espacios de Banach y los espacios de Hilbert tienen una teoría más rica y elaborada.

Los espacios vectoriales tienen aplicaciones en otras ramas de la matemática, la ciencia y la ingeniería. Se utilizan en métodos como las series de Fourier, que se utiliza en las rutinas modernas de compresión de imágenes y sonido, o proporcionan el marco para resolver ecuaciones en derivadas parciales. Además, los espacios vectoriales proporcionan una forma abstracta libre de coordenadas de tratar con objetos geométricos y físicos, tales como tensores, que a su vez permiten estudiar las propiedades locales de variedades mediante técnicas de linealización.

Antony Hernandez 004 18 may 2011 - 07:22 AM

Un espacio vectorial es una estructura matemática creada a partir de un conjunto no vacío con una operación suma interna al conjunto y una operación producto externa entre dicho conjunto y un cuerpo, cumpliendo una serie de propiedades o requisitos iniciales. A los elementos de un espacio vectorial se les llamará vectores y a los elementos del cuerpo se les llamará escalares. Históricamente, las primeras ideas que condujeron a los espacios vectoriales modernos se remontan al siglo XVII: geometría analítica, matrices y sistemas de ecuaciones lineales. La primera formulación moderna y axiomática se debe a Giuseppe Peano, a finales del siglo XIX. Los siguientes avances en la teoría de espacios vectoriales provienen del análisis funcional, principalmente de los espacios de funciones. Los problemas de Análisis funcional requerían resolver problemas sobre la convergencia. Esto se hizo dotando a los espacios vectoriales de una adecuada topología, permitiendo tener en cuenta cuestiones de proximidad y continuidad. Estos espacios vectoriales topológicos, en particular los espacios de Banach y los espacios de Hilbert tienen una teoría más rica y elaborada. Los espacios vectoriales tienen aplicaciones en otras ramas de la matemática, la ciencia y la ingeniería. Se utilizan en métodos como las series de Fourier, que se utiliza en las rutinas modernas de compresión de imágenes y sonido, o proporcionan el marco para resolver ecuaciones en derivadas parciales. Además, los espacios vectoriales proporcionan una forma abstracta libre de coordenadas de tratar con objetos geométricos y físicos, tales como tensores, que a su vez permiten estudiar las propiedades locales de variedades mediante técnicas de linealización.

Alvarez Neriel 18 may 2011 - 04:28 PM

Un espacio vectorial es una estructura matemática creada a partir de un conjunto no vacío con una operación suma interna al conjunto y una operación producto externa entre dicho conjunto y un cuerpo, cumpliendo una serie de propiedades o requisitos iniciales. A los elementos de un espacio vectorial se les llamará vectores y a los elementos del cuerpo se les llamará escalares. Importancia de Espacios Vectoriales ( o Espacios Lineales) Podemos señalar los siguientes hechos que ayudan a comprender la importancia del concepto de espacio normado: * En un espacio euclídeo, la norma coincide precisamente con la longitud del vector. * Todo espacio vectorial normado es un espacio métrico con la distancia inducida por la norma. * Si el espacio vectorial es además completo se dice que es un espacio de Banach. - Aplicaciones de Espacios Vectoriales ( o Espacios Lineales) Aplicación lineal La aplicación f establecida entre V y V' es una aplicación lineal u homomorfismo si verifica " " R y " u v " V: *f (u + v) = f(u) + f(v) *f ( u) = f(u) Tipos de aplicaciones lineales *Monomorfismo: cuando f es inyectiva (imagen de uno o ninguno) *Epimorfismo: cuando f es suprayectiva (coinciden final e imagen) *Isomorfismo: cuando es biyectiva (inyectiva y suprayectiva) *Endomorfismo: cuando V = V' *Automorfismo: cuando V = V' y es biyectiva. Núcleo e imagen de una aplicación lineal Dada la aplicación lineal f establecida entre V y V', llamamos núcleo de f -Ker(f)- al conjunto formado por aquellos elementos de V que tienen como imagen el vector 0 de V' Llamamos conjunto imagen de f al conjunto de vectores de V' que son imagen de algún vector de V Teoremas relativos a aplicaciones lineales *Para que la aplicación lineal f establecida entre los espacios vectoriales sea aplicación lineal basta con que se verifique: " , " R y " u,v " V f( u+ v) = f(u) + f(v) *f(0) = 0 Alavarez Neriel C.I 24.163.214 IIsemestre Ing Petrquimica I-004-D

Luis Alvarez ci:20443099 seccion 004 ing. petroquimica 18 may 2011 - 10:46 PM

Definicion: Un espacio vectorial es una estructura matemática creada a partir de un conjunto no vacío con una operación suma interna al conjunto y una operación producto externa entre dicho conjunto y un cuerpo, cumpliendo una serie de propiedades o requisitos iniciales. A los elementos de un espacio vectorial se les llamará vectores y a los elementos del cuerpo se les llamará escalares. IMPORTANCIA Es importante el estudio de los espacios vectoriales ya que es un pilar básico de la formación técnica esencial de estudiantes de ciencias e ingeniería. Como parte del álgebra que principia el estudio formal de un amplio espectro de teorías de la matemática, y que, con natural reciprocidad, es el fruto de un proceso de abstracción que bien puede comenzar desde cualquiera de ellas (la geometría, los conjuntos numéricos, las funciones, los sistemas de ecuaciones, el cálculo numérico, y un interminable etcétera). Los espacios vectoriales conllevan una aplicación multidisciplinar que motiva la necesidad de su correcto entendimiento, no sólo como parte del lenguaje matemático empleado para el desarrollo de estos estudios, sino también en sí mismos como herramienta de trabajo y soporte. Por esta consabida importancia, unida a la realidad educativa que nos rodea, de enorme diversificación curricular APLICACIONES: Los espacios vectoriales conllevan una aplicación multidisciplinar que motiva la necesidad de su correcto entendimiento, no sólo como parte del lenguaje matemático empleado para el desarrollo de estos estudios, sino también en sí mismos como herramienta de trabajo y soporte. Este campo nos permite estudiar un punto u objeto en todas sus dimensiones. por lo que es una herramienta de suma importancia para la aquitectura, topografia, la fisica,etc.

Antony 19 may 2011 - 12:58 AM

antony hernandez 21.147.091 seccion 004 ing.petroquimica

Edgar Otero 19 may 2011 - 05:55 AM

C.I: 24.574.693 Ing Petroquimica seccion 002

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